Соревновония Lego роботов 2.Соревновония Lego роботов 1.

Пропорция

Сообщение об ошибке

Deprecated function: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls в функции book_prev() (строка 775 в файле /home/users/r/robohobby/domains/robohobby.myjino.ru/rostovrobot/modules/book/book.module).
Аватар пользователя Овсянников Алексей Юрьевич

Пропорцией в математике называется равенство двух и более отношений. Под отношением подразумевается операция деления. Например, пропорцией будет следующее выражение:

 12 : 4 = 6 : 2

Так как обычная дробь тоже обозначает операцию деления, то эту пропорцию можно записать в следующем виде:

В общем виде, пропорции записываются следующими выражениями:

a : b = c : d = ... = e : f

Здесь буквами a, b, c, d, e , f обозначены некие числа, многоточием - любое количество подобных операций деления и дробей, дающих такой же "ответ", что и деление а на b.

Чаще пропорцию представляют во втором виде, то есть с помощью дробей.

Пропорцию принято читать следующим образом: "a так относится к b, как c относится к d". Вместо букв подставляются соответствующие числа. Для прошлого примера, это будет звучать так: "двеннадцать так относится к четырем, как шесть относится к двум".

Пропорции тесно связаны с понятием пропорциональности. Пропорциональность - это неизменное отношение двух величин друг к другу. Например, чем сильнее мы нажимаем на педаль "газ" в автомобиле, тем быстрее он едет. Нажмем на педаль в два раза сильнее - скорость увеличится в два раза. Нажмем в три раза сильнее - и автомобиль разгонится в три раза.

Пропорциональность бывает прямой и обратной. В предыдущем примере описана прямая пропорциональность - увеличение одной величины приводит к увеличению другой. Обратная пропорциональность возникает тогда, когда увеличение одной величины в несколько раз, во столько же раз уменьшает другую. Продолжая предыдущий пример - обратная пропорциональность между нажатием на педаль "тормоз" и скоростью автомобиля - чем сильнее мы жмем на тормоз, тем меньше скорость.

Понимая, какая пропорциональность связывает величины, легко можно "строить" пропорции. Это будет показано немного позже, в примерах.

Пропорции обладают множеством интересных свойств:

  1. Обращение пропорции - если есть пропорция  , то ее можно "перевернуть", получив следующую пропорцию: .
  2. Перемножение крайних членов (перемножение крестом) - если есть пропорция  , то можно перемножить ее члены, стоящие крест-на-крест () и получить равенство .
  3. Перестановка средних и крайних членов пропорции - если есть пропорция , то можно получить следующие пропорции:

     - перестановка средних членов пропорции ( поменялись)

     - перестановка крайних членов пропорции ( поменялись)

  4. Увеличение и уменьшение пропорции - если есть пропорция  , то равенство сохранится в следующих случаях


     


     

Разберемся же, зачем могут понадобиться пропорции? С их помощью легко определять неизвестные величины в заранее неизвестных соотношениях. То есть, представьте ситуацию, когда в пропорции одно из чисел неизвестно - его легко можно вычислить с использованием свойств пропорции. Вот лишь пара примеров:

ПРИМЕР ПЕРВЫЙ Представим, что за один оборот двигателя робот проезжает 20 сантиметров. А по заданию роботу необходимо проехать 1 метр. Первым делом переведем все величины к единому типу - сантиметрам: 1 метр равен 100 сантиметрам, то есть, по заданию, робот должен проехать 100 сантиметров. Составим пропорцию: робот проезжает 20 сантиметров за один оборот двигателя, значит робот проедет 100 сантимеров за N оборотов двигателя. Вот это N нам и нужно определить.  В данном случае имеем прямую пропорциональность - числа оборотов можно поставить в знаменатели дробей. Математически это запишется так:

.

Вспоминаем свойство перемножения крайних членов, а из него вытекает следующее правило: чтобы найти неизвестный член пропорции, то необходимо перемножить диагональ с обоими известными членами, а затем разделить на оставшееся известное значение: диагональ с изветсными членаи - то с числами 1 и 100:

.

Путем нехитрых математических вычислений (один умножаем на сто и получаем сто, далее делим сто на двадцать и...) получаем в ответе пять. Значит, для того, чтобы робот проехал 100 сантиметров (1 метр), ему необходимо сделать пять оборотов двигателем.

ПРИМЕР ВТОРОЙ На валу двигателя установлено зубчатое колесо с 40 зубьями, а на валу колеса - с 24 зубьями. Мотор делает 12 оборотов в минуту. Сколько оборотов в минуту делает колесо?

Так как шестеренка на моторе имеет большее количество зубьев, то колесо будет крутиться быстрее (логично: один полный оборот мотора займет 40 зубьев, а колеса - всего 24, поэтому за один оборот мотора колесо сделает полный оборот и еще поворот на 40 - 24 = 16 зубьев). Таким образом, чем меньше число зубьев на валу колеса, тем больше оборотов в минуту будет делать его вал. Имеем обратную пропорциональность. Составляем пропорцию:

Как и в прошлый раз - N - то, что нужно найти, то есть количество оборотов колеса в минуту. И как и в прошлый раз вычисляем его (перемножаем элементы диагонали с известными величинами и делим на оставшееся известное значение):

Ответ: колесо делает 20 оборотов в минут.