Соревновония Lego роботов 2.Соревновония Lego роботов 1.

Дробь

Сообщение об ошибке

Deprecated function: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls в функции book_prev() (строка 775 в файле /home/users/r/robohobby/domains/robohobby.myjino.ru/rostovrobot/modules/book/book.module).
Аватар пользователя Овсянников Алексей Юрьевич

В жизни часто встречаются случаи, когда какую-либо величину невозможно определить с помощью целого числа. Например: на столе лежат два яблока и еще половина яблока. Или необходимо выяснить, во сколько раз число 10 больше числа 4. Для второго примера необходимо просто разделить 10 на 4, но выясняется, что ответ больше двух (т.к. 4*2=8), но меньше трех (т.к. 4*3=12). В таких случаях приянто использовать дробные величины. Дроби существют обыкновенные и десятичные. В данной статье описываются обыкновенные дроби.

Обыкновенная дробь записывается в следующем виде:

Число над линией называется числителем, число под линией называется знаменателем. Горизонтальная линия называется дробной чертой. Возможен следующий формат записи, при котором дробная черта расположена "косо":

Дробная черта обозначает математическое деление. Числитель (как мы договорились - то, что над чертой) делится на знаменатель (то, что под чертой). Значение дроби - результат деления. То есть, если числитель равен шести, а знаменатель равен трем, то сама дробь равна двум:

Гораздо интереснее следующий вариант: если числитель меньше знаменателя. В этом случае пользуются другой логикой. Рассмотрим ее для примера, когда числитель равен трем, а знаменатель равен шести:

Представим, что у нас есть яблоко. Оно у нас одно. Делим яблоко на столько равных частей, сколько указано в знаменателе - в нашем случае на шесть долек. А теперь берем столько долек-частей, сколько указано в числителе - в нашем случае берем три. Теперь у нас есть три шестых части яблока. Именно это и выражалось дробью .

Так же будем рассуждать, когда увидим дробь  - делим нечто целое на восемь долей и берем пять из них.

Может возникнуть вопрос - как же сравнить дроби? Какая из них обозначает большую "часть яблока", какая - меньшую. Для этого необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель - это наименьшее общее кратное числителей отдельных дробей, то есть наименьшее число, которое нацело (без остатка) делится на числитель первой дроби и на числитель второй дроби. Для дробей  и  общим знаменателем будет число 24 (нацело делится и на шесть, и на восемь). Теперь открываю главный секрет дробей: числитель и знаменатель дроби можно умножать и делить на одно и то же число (обязательно одновременно), при этом значение дроби не поменяется. То есть, числитель и знаменатель дроби  мы можем умножить на четыре и получим дробь , равную исходной. А числитель и знаменатель дроби  можем умножить на три, получим дробь .

И вот теперь, когда дроби имеют общий знаменатель, можно судить об их равенстве-неравенстве, или какая из них больше. Так, получается, что в первом случае мы разделили яблоко на 24 дольки и взяли двенадцать, а во втором случае мы разделили яблоко на все те же 24 части, а взяли уже пятнадцать. Так как дольки полностью одинаковы, то больше там, где мы взяли большее их количество - то есть 15 долек больше, чем двенадцать. Следовательно, дробь  больше, чем дробь 

Кстати, зная, что и числитель, и знаменатель можно делить на одно и то же число, то дробь  можно привести к виду  , просто разделив числитель и знаменатель на 3. Это из-за того, что числитель и знаменатель дроби имели общий делитель - 3. Подобный процесс называется сокращением дроби:

Идем дальше. А если нам нужно взять несколько целых яблок и еще одну половинку яблока, то математически это запишется следующим образом:  - сперва ставится число целых яблок, а сразу за ним дробь с числителем "один" и знаменателем "два" (разделили яблоко на две половины и взяли только одну). Такие дроби называются смешанными. Математически их можно объяснить следующим образом:

Теперь разберемся, во сколько раз число 10 больше числа 4. Так как для ответа необходимо разделить 10 на 4, а дробь - это и есть математическое деление, то достаточно записать дробь . Вроде бы и ответ получили, но понятней от него не стало. А дело в том, что этот ответ нужно еще привести к правильному виду. Это такой вид, при котором числитель меньше знаменателя, а при необходимости перед дробью ставится число, обозначающее "целые объекты". Для того, чтобы привести дробь к правильному виду, необходимо выполнить следующие шаги:

  1. Если числитель больше знаменателя, то необходимо найти наибольшее число, которое меньше числителя и нацело делится на знаменатель (о как! я аж сам запутался; предлагаю прочитать это предложение еще несколько раз, до полного понимания). Найденное число делится на знаменатель - получаем количество "целых" в дроби;
  2. Целая часть записывается перед дробью (получается смешанная дробь), знаменатель остается прежним, а в числитель записывается разница исходного числителя и произведения знаменателя на целую часть;
  3. Дробная часть сокращается (целая часть при этом не меняется).

Второй пункт без примера даже мне самому не очень понятен. Поэтому давайте проделаем все шаги для приведенного выше примера: чисел 10 и 4. Берем дробь 

  1. Числитель больше знаменателя, значит подбираем БОЛЬШЕЕ ЧИСЛО, КОТОРОЕ МЕНЬШЕ ЧИСЛИТЕЛЯ И НАЦЕЛО ДЕЛИТСЯ НА ЗНАМЕНАТЕЛЬ. Начнем с числа 10 - оно на 4 начело не делится. Число 9 тоже не делится на 4 нацело. А вот число 8 нам подходит - оно делится без остатка на 4, меньше 10 и наибольшее из доступных. Делим 8 на 4, получаем 2 - это целая часть.
  2. Записываем целую часть (два) перед дробью. Знаменатель оставляем прежним. А в числителе записываем РАЗНИЦУ, МЕЖДУ ИСХОДНЫМ ЧИСЛИТЕЛЕМ И ПРОИЗВЕДЕНИЕМ ЗНАМЕНАТЕЛЯ НА ЦЕЛУЮ ЧАСТЬ:

     

  3. Сокращаем дробную частью. Новый числитель и знаменатель имеют общий делитель - два. Делим их на общий делитель:

В правильном виде легко понять, какое истинное значение имеет дробь. Так, мы видим, что число 10 больше числа 4 в два с половиной раза. Но все математические операции с дробью делаются только в простом виде (дробь без целых частей).

Самая простая математическая операция с обыкновенными дробями - умножение. Просто числитель одной дроби умножается на числитель другой, а знаменатель одной на знаменатель другой:

Деление обычных дробей немного сложнее: дробь, на которую делят необходимо "перевернуть", то есть поменять ее числитель и знаменатель местами, а потом перемножить первую дробь на "перевернутый вариант" второй дроби:

Сложение и вычитание обычных дробей наиболее сложные: предварительно их необходимо привести к общему знаменателю, далее числители складываются или вычитаются, а знаменатель остается неизменным (общим):

После всех материтических операций дроби принято сокращать, если это возможно.